De eenheidscirkel is een handig hulpmiddel bij de goniometrie (de wiskunde van periodieke functies, zoals de sinus- en cosinusfuncties). Je kunt de eenheidscirkel gebruiken om regels voor de goniometrie af te leiden of om beter inzicht te krijgen in periodieke functies. Het meest gebruik je de eenheidscirkel voor het oplossen van vergelijkingen met een sinus of cosinus.
De eenheidscirkel in een notendop
De eenheidscirkel is de cirkel met het middelpunt in de oorsprong (het coordinaat (0,0)) en een straal van r=1. Op deze cirkel kun je aflezen wat de sinus en cosinus van veelgebruikte hoeken/waardes zijn. Op de x-as lees je de cosinus af en op de y-as de sinus. Zo zie je bijvoorbeeld dat:
\sin(\frac{1}{6}\pi)=\frac{1}{2}\sqrt{1}=\frac{1}{2} en \cos(\frac{1}{6}\pi)=\frac{1}{2}\sqrt{3}.
Deze waardes komen vaak voor in problemen en dat zorgt ervoor dat het handig is om de eenheidscirkel te begrijpen. Als je de eenheidscirkel begrijpt hoef je namelijk weinig uit je hoofd te leren.
Hoe gebruik je de eenheidscirkel?
In het filmpje hieronder leg ik uit wat de eenheidscirkel is en hoe je die gebruikt om vergelijkingen op te lossen. Als je al bekend bent
Voorbeeld
Zoek oplossingen voor de volgende vergelijking op het interval [-\pi;\pi]:
Stap 1: Teken de cirkel
Teken een cirkel op een assenstelsel en zet sin bij de y-as en cos bij de x-as. Let erop dat je de cirkel niet te klein tekent.
Stap 2: Geef de waarde aan op de goede as
Kies de goede as (de y-as als je een sinus vergelijking oplost en de x-as voor een cosinus vergelijking) en markeer daarop de waarde waaraan de sinus of cosinus gelijk is. In dit geval markeren we dus \frac{1}{2}[/latext] op de y-as. Trek vervolgens een lijn loodrecht op de as door dit punt.
Stap 3: Lees de waardes af op de cirkel
De loodrecht lijn snijdt de cirkel meestal in twee punten, behalve als ze gelijk zijn aan 1. Dan raakt de loodrechte lijn de cirkel. Bij waardes groter dan 1 snijdt de lijn de cirkel niet en zijn er dus geen oplossingen.
Deze twee snijpunten zijn waardes waarvan de sinus gelijk is aan \frac{1}{2}. Dus \sin(\frac{1}{6}\pi)=\frac{1}{2} en \sin(\frac{5}{6}\pi)=\frac{1}{2}.
Stap 4: Stel de inhoud van de sin/cos gelijk aan de waardes
Aangezien \sin(\frac{1}{6}\pi)=\frac{1}{2} en \sin(\frac{5}{6}\pi)=\frac{1}{2} moet de inhoud van de sinus dus gelijk zijn aan \frac{1}{6}\pi of \frac{5}{6}\pi. Dus stellen we deze gelijk:
Stap 5: Voeg "+k\cdot2\pi" toe
Aangezien ieder rondje verder en ieder rondje terug op hetzelfde punt op de eenheidscirkel uitkomt moeten we die mogelijkheden ook meenemen. Dit doen we door ” +k\cdot2\pi” toe te voegen:
Stap 6: Schrijf t vrij
Aangezien we de waardes van t willen vinden moeten we eerst t vrij schrijven. In dit geval staat t al vrij en kunnen we deze stap overslaan.
Stap 7: Vul waardes van k in en zoek oplossingen die in het interval passen
Aangezien k alleen hele getallen kan zijn: k=…, -2, -1, 0, 1, 2, … , vullen we daarvan de waardes in die ons oplossingen geven binnen het gegeven interval ([-\pi;\pi]).
k=0:
Voldoet!
Voldoet!
k=1:
Voldoet niet!
Voldoet niet!
Dus we hoeven niet hoger dan k=1 te zoeken.
k=-1:
Voldoet niet!
Voldoet niet!
Dus we hoeven niet lager te zoeken.
Antwoorden:
Uiteindelijk hebben we dan twee oplossingen die aan de vergelijking en het interval voldoen: